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在赌场老板的眼中，世界上只有两类人：一类人现在是穷鬼，另一类人未来是穷鬼。但有时赌场老板也会有所忌惮，特别是在遇到善用数学进行博弈的高手时。而本文所要展示的凯利公式，它在高级赌徒的心目中大名鼎鼎，是顶级高手常用的数学利器。那么，什么是凯利公式呢？且听我慢慢道来······

01

引例

我们先看一个例子：

一个1赔2的简单赌局，利用扔硬币下注，假设赌注为1元，如果硬币为正面，则净赢2元，若为反面，则输掉1元。再假设你现在的总资产为100元，每一次的押注都可投入任意金额，那么，你会怎么赌呢？

回答上面这个问题之前，我们先来简单地分析一下，已知掷硬币后正反面的概率都为50%，赔率是1赔2，那么在这个赌局中，你只要有耐心地不断去下注，再抛开一些不公平因素的干扰，你几乎就能从中赚一笔。因为掷硬币次数越多，其正反面出现概率就越会稳定在50%，收益2倍，损失却只是1倍，从数学上来讲，那是稳赚不赔的赌局。

但实际情况却可能会有偏差，如果你是激进主义者，你可能会想，要玩就玩一票大的！你可能会一次性把 100元全押上，幸运的话，一次正面就可以获得200元，那么这又是一段值得炫耀的赌史。反过来说，你如果输了，就要把100元资产拱手献给对方，你就一无所有了，那么，这肯定就不是明策了。

但如果你是保守主义者，你可能会想，谨慎点，百分之一地慢慢玩，你每次只下注1元，正面赢2元，反面输1元，玩了20把却突然觉得，对方下注 10 元，一次就赢得20元，自己一次才赢2元，而10次才能赢得20元，感觉自己错过了几个亿，从而会开始后悔！那到底该以多少比例下注才能获得最大收益呢？

普通赌徒一般会一脸茫然，但凯利公式却能够告诉我们一个正确答案：

计算后每次下注比例为当时总资金的 25%，这样就能获得最大收益。

02

凯利公式

接下去，我们就来看看凯利公式的真面目：

【注】

①f* 为应投注的资本比例；

②p 为获胜的概率，也就是抛到硬币正面的概率；

③q 为失败的概率，一般为（1-p），也就是抛到硬币反面的概率；

④b 为赔率，等于（期望盈利/可能亏损），也就是盈亏比；

⑤公式上面的分子代表赢面，数学中也叫期望值。

当你确定了赌局的赔率和概率后，可以用这个公式算出最佳的押注比例，以此比率押注，你就可以获得最优的期望收益率（预期收益率的定义是：每次平均赢得的金额 / 本金的总额）。

凯利公式在数学形式上非常简单，只是加减乘除的简单计算。然而在实际中，大多数人应用该公式都会力不从心。究其原因，主要有下面两点：

①凯利公式只给出了最佳投注比例。然而投资者最关心的按此比例押注，最终获得的预期收益率是多少，凯利公式并没有给出答案。

②式子的形式是静态的，但现实中赔率和概率是动态的变量。普通人缺乏由理论公式演绎出现实结果的能力。

那么，怎么样才算合适的赌注呢？

凯利告诉我们要通过选择最佳投注比例，才能长期获得最高盈利。回到前面的引例中，硬币抛出正、反面的概率都是50%，所以p、q(分别为获胜、失败的概率)都为0.5，而赔率=期望盈利/可能亏损=2 ÷ 1，因此，赔率就是2，也就是说这个赌局次数越多，我们的收益就会越高。那么，我们应该如何利用手中的资金来获得最高收益呢？

我们要解出的答案是f*，也就是：由此，我们根据凯利公式的计算而得到了投注比例，每次都拿出当前手中资金的25%来进行下注。设初始资金为 100元，硬币为正面时，收益为投注的2倍，若为反面，则失去投注金额。在下表中，我们模拟计算了10次赌局的收益情况。

表1从先正后反的情况计算了收益，而表2则计算了正反分布交错情况下的收益结果。比较两表，我们最终可以发现：其收益是相等的，即硬币出现正反面的先后顺序对于最终收益的计算结果并无影响。

而按 25% 的投注比例进行投注，收益基本呈现稳步增长的大趋势！

但假设投注比例为100%时，10次当中只要出现任意一次的反面，就会彻底输光身上的所有钱，会被直接出局，且每轮反面概率还为50%；而每次1元1元地投注，也就是投注比例为1%的时候，投注10次后，数学上的收益为105，但是，这风险虽然很小，不过收益太低了，并没有达到收益最大化！

由此看来，凯利公式才是最大的赢家。

03

结论与启示

①期望值为正时，凯利公式是在赌徒免于破产的情况下，最快速增加资产的仓位控制。

②期望值为零与负时，停止下注。

③相同期望值时，提高系统的胜率可以提高最大仓位，提高资产增长率。

④凯利公式应用于股票和期货市场时，由于市场状态的不同，而不能使用过于激进的凯利公式计算仓位。

⑤通过改进或者降低凯利公式，将其应用于股票和期货市场。